Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）-f（k-2t²）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=1，n=0，即可求得f（0）的值；
（2）要判断f（x）的单调性，可任取x₁，x₂∈R，且设x₁＜x₂，可证得f（x₂）-f（x₁）＜0，从而可判断f（x）的单调性；
（3）由（2）知，f（t²-2t）-f（k-2t²）＜0恒成立?k＜3t²-2t（t∈R）?k＜（3t²-2t）_min，从而可求k的取值范围．

解答：解：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=1，n=0，得：f（1）=f（1）•f（0）
因为f（1）≠0，所以，f（0）=1．
（2）要判断f（x）的单调性，可任取x₁，x₂∈R，且设x₁＜x₂．
在f（m+n）=f（m）•f（n）中取m+n=x₂，m=x₁，
则f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴0＜f（x₂-x₁）＜1
为比较f（x₂），f（x₁）的大小，只需考虑fx₁（　　）的正负即可．
在在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=x，n=-x，则得f（x）-f（-x）=1．
∵x＞0时0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）=

1

f(-x)

＞1＞0．
又f（0）=1，所以，综上，可知，对于任意x₁∈R，均有f（x₁）＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
∴函数f（x）在R上单调递减．
（3）不等式即f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知函数f（x）在R上单调递减，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t，其中t∈R．
∴k＜（3t²-2t）_min，而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≤

1

3

，
∴k＜-

1

3

，即k的取值范围是（-∞，-

1

3

）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，考查函数单调性的判定，考查转化思想与方程思想，考查逻辑推理与综合应用能力，属于难题．