Question

5．已知函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，-1）上是增函数，在（-∞，-2）上为减函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）是否存在实数b使得关于x的方程f（x）=x²+x+b在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数，f（x）在x=-2处取得极值点，可得f′（-2）=0利用方程求出a值，从而求解；
（2）f（x）=x²+x+b，变形得x-b+1-ln（1+x）²=0，设相应的函数为g（x），利用导数研究出g（x）在[0，1]上单调递减且在[1，2]上单调递增，可得当g（1）＜0、g（0）≥0且g（2）≥0时方程f（x）=x²+x+b在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，由此建立关于b的不等式即可得出实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，
∴f′（x）=2x+2-$\frac{2（1+x）a}{{（x+1）}^{2}}$=2（x+1）-$\frac{2a}{x+1}$，
∵函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数
f（x）在x=-2处取得极值，
依题意得f′（2）=-2+2a=0，所以a=1，从而f（x）=（x+1）²-ln（x+1）²．
（2）若存在实数b使得条件成立，
方程f（x）=x²+x+b，即x-b+1-ln（1+x）²=0，
令g（x）=x-b+1-ln（1+x）²，则g'（x）=1-$\frac{2}{x+1}$=$\frac{x-1}{x+1}$，
令g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1；令g'（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
要使方程f（x）=x²+x+b在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，
只需g（x）=0在区间[0，1]和[1，2]上各有一个实根，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（1）＜0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，解得2-2ln2＜b≤3-2ln3，
故存在这样的实数b，当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件．

点评 本题给出含有对数的基本初等函数，求函数的解析式并由此讨论方程根的分布．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的极值与最值求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．