Question

如图，直线相交于点P．直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）比较2|PP_n|²与4k²|PP₁|²+5的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意及各点的产生情况直线l₁与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线l₂于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线l₁于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线l₂于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，点P_n（n=1，2，…）的横坐标构成数列{x_n}，读懂它即可得证；
（II）因为已知的直线l₁方程且知直线l₁与x轴交于点P₁，可以求出点P₁，在有（I）的证明结论可以得到数列{x_n}的递推关系利用构造法求出其通项；
（III）先由题意得到点P的坐标为（1，1），在有两点间的距离的公式得2|PP_n|²的式子，有式子与4k²|PP₁|²+5比较大小．
解答：解：（Ⅰ）证明：设点P_n的坐标是（x_n，y_n），由已知条件得
点Q_n、P_n+1的坐标分别是：．
由P_n+1在直线l₁上，得．
所以，即．
（Ⅱ）由题设知，又由（Ⅰ）知，
所以数列{x_n-1}是首项为x₁-1，公比为的等比数列．
从而．
（Ⅲ）解：由得到点P的坐标为（1，1），
所以，．
（i）当时，4k²|PP₁|²+5＞1+9=10．
而此时．
（ii）当时，4k²|PP₁|²+5＜1+9=10．
而此时．
点评：此题重点考查了对于题意的准确理解，还考查了两点间的距离公式及构造法求数列的通项公式，此外还考查了比较含字母的式子的大小分类讨论的思想．