Question

1．已知函数f（x）=log_a（x²-3x+2），g（x）=log₂（2x²-5x+2）（a＞0，且a≠1），若f（x）＞g（x），求x的取值范围．

Answer 1

分析 此题要求的是x的取值范围，应考虑以下几个方面的问题．首先，其为对数函数，应先满足定义域要求；第二，关于a的取值问题，a值不同会影响结果，所以应就a的取值分类讨论．分几种情况呢？由对数函数图象及性质可知，对数函数值的大小与底数有关系，以须通过讨论a与2的关系，又由题中要求a＞0且a≠1，所以分为四类进行讨论，然后再考虑真数之间的关系，何时满足题目要求f（x）＞g（x）．

解答 解：因为函数f_（x）含有待定系数a，所以对a值分类讨论如下：
①当0＜a＜1时，若f（x）＞g（x），由对数函数图象可知当真数在（0，1）上时不等式成立，
即满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＜1}\\{2{x}^{2}-5x+2＜1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$，

②当1＜a＜2时，若f（x）＞g（x），由对数函数图象可知当真数在（1，+∞）上时不等式成立，
即满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞1}\\{2{x}^{2}-5x+2＞1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；
③当a=2时，若f（x）＞g（x），由同底对数的单调性可知真数越大函数值越大，
即满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{{x}^{2}-3x+2＞2{x}^{2}-5x+3}\end{array}\right.$，解得$0＜x＜\frac{1}{2}$；
④当a＞2时，若f（x）＞g（x），由对数函数图象可知真数在（0，1）上时不等式成立，
即满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＜1}\\{2{x}^{2}-5x+2＜1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$；
答：x的取值范围是；①当0＜a＜1或a＞2时，$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$；②当1＜a＜2时，$x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；③当a=2时，$0＜x＜\frac{1}{2}$．

点评 本题目考核的知识内容是对数函数的大小比较，包括了定义域及二次不等式的有关内容；所用的解题方法是分类讨论法，因为其底数含有字母常量a．易错点是a的分类不全．