Question

【题目】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依题意可得，解方程组即可求出椭圆的方程；

（2）设，则，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，设，，列出韦达定理，即可表示，再根据求出参数，从而得出，最后由点到直线的距离得到，由即可得解；

解：（1）∵，∴解得，

∴椭圆的方程为.

（2）∵，∴可设，∴.∵，

∴，∴设直线的方程为，

∴，∴，显然恒成立.

设，，则，，

∴

.

∴，

∴，∴解得，解得，

∴，，∴.

∵此时直线的方程为，，

∴点到直线的距离为，

∴，

即此时四边形的面积为.