Question

如图，F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点.已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|.

(1)写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

(2)当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程.

Answer 1

解：（1）∵四边形OFPM是平行四边形，

∴|OF|=|FM|=c，作右准线交PM于H，则|PM|=|PH|+，

又=，e²-λe-2=0.

（2）当λ=1时，e=2，c=2a，b²=3a²，

所以双曲线方程为，

设P（x₀，y₀），则由|OF|=|PM|得x₀+=c；x₀=；y₀=.

所以直线OP的斜率为，

则直线AB的方程为（x-2a），

代入双曲线方程得4x²+20ax-29a²=0，

又|AB|=12，

由|AB|=得12=，

解得a²=1，b²=3，所以双曲线方程为.