Question

已知：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形．
求证：（1）平面B₁AC∥平面DC₁A₁；
（2）平面B₁AC⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

证明：（1）因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
所以，A₁C₁∥AC，
而A₁C₁?平面B₁AC，AC?平面B₁AC，
所以A₁C₁∥平面B₁AC．（3分）
同理，A₁D∥平面B₁AC．（5分）
因为A₁C₁、A₁D?平面DC₁A₁，A₁C₁∩A₁D=A₁，
所以平面B₁AC∥平面DC₁A₁．（7分）
（2）因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
所以B₁B⊥平面ABCD，（9分）
而AC?平面ABCD，
所以AC⊥B₁B．
因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
因为B₁B、BD?平面B₁BDD₁，B₁B∩BD=B，
所以AC⊥平面B₁BDD₁．（12分）
因为AC?平面B₁AC，
故有平面B₁AC⊥平面B₁BDD₁．（14分）
分析：（1）由已知中四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，结合直四棱柱的性质，我们可得A₁C₁∥AC，由线面平行的判定定理可得A₁C₁∥平面B₁AC，同理，A₁D∥平面B₁AC．（进而再由面面平行的判定定理，即可得到平面B₁AC∥平面DC₁A₁；
（2）由已知中四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，结合直四棱柱的性质，我们可得B₁B⊥平面ABCD，进而AC⊥B₁B．又由已知中底面ABCD是菱形．则AC⊥BD，由线面垂直的判定定理我们可得AC平面B₁BDD₁．再由面面垂直的判定定理即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间中直线与平面平行或垂直的判定定理，熟练掌握直四棱柱的几何特征是解答本题的关键．