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若不等式
x2
108
+
y2
4
xy
3k
对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),则正整数m只能取
 
分析:将不等式
x2
108
+
y2
4
xy
3k
两边同除以xy转化为
x
108y
+
y
4x
1
3k
,左边用基本不等式,求其最小值,再由“不等式
x2
108
+
y2
4
xy
3k
对于任意正实数x,y总成立”得到
1
3k
≤2
xy
108y4x
=
1
108
求得k的范围,最后由“成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞)”,求得正整数m的取值.
解答:解:不等式
x2
108
+
y2
4
xy
3k
两边同除以xy得:
x
108y
+
y
4x
1
3k

∵不等式
x2
108
+
y2
4
xy
3k
对于任意正实数x,y总成立
x
108y
+
y
4x
1
3k
对于任意正实数x,y总成立
1
3k
≤2
xy
108y4x
=
1
108

3k
108

k≥
1
2
+
log
6
3
1
2
+
log
3
6

又∵总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),
[
1
2
+
log
6
3
,+∞)
⊆[m,+∞),
∴正整数m只能取 1或2
故答案为:1或2
点评:本题主要考查不等式恒成立,往往转化为求代数式的最值问题,一般有两种方法,一是基本不等式,二是函数法.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:镇江一模 题型:填空题

若不等式
x2
108
+
y2
4
xy
3k
对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),则正整数m只能取 ______.

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x2
108
+
y2
4
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