Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数，α∈[0，π））．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ． （Ⅰ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ， 可得ρ2sin2θ=4ρsinθ=0，可得直角坐标方程：x2=4y．
∴x+y=x+ x2= （x+2）2﹣1≥﹣1，
故x+y的取值范围为[﹣1，+∞）
（Ⅱ）直线l： （t为参数）消掉参数t，得到y﹣1=xtanα，
代入到x2=4y，x2﹣4xtanα﹣4=0，
∴x1+x2=4tanα，x1x2=﹣4
∴|AB|= |x1﹣x2|= 4 =4（1+tan2α）≥4．当且仅当α=0取等号，
故|AB|的最小值为4．
【解析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4sinθ=0，可得ρ2sin2θ=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，再根据二次函数的性质即可求出x+y的范围，（Ⅱ）由直线l的参数方程，消去参数t可得普通方程，直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣4xtanα﹣4=0，利用根与系数的关系及其弦长公式即可求出