Question

（2012•嘉定区三模）如图，设A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等边三角形．记以Ox轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为θ．
（1）若点A的坐标为（

3

5

，

4

5

），求

sin2θ+sin2θ

cos2θ+cos2θ

的值；
（2）设f（θ）=|BC|²，求函数f（θ）的解析式和值域．

Answer 1

分析：（1）根据A的坐标，利用三角函数的定义，求出sinθ，cosθ，再利用二倍角公式，即可得到结论；
（2）由题意，cos∠COB=cos（θ+60°），利用余弦定理，可得函数f（θ）的解析式，从而可求函数的值域．

解答：解：（1）∵A的坐标为（

3

5

，

4

5

），以Ox轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为θ
∴根据三角函数的定义可知，sinθ=

4

5

，cosθ=

3

5

，
∴

sin2θ+sin2θ

cos2θ+cos2θ

=

sin2θ+2sinθcosθ

cos2θ+2cos2θ-1

=

16 25 +2• 4 5 • 3 5

3• 9 25 -1

=20；
（2））∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（θ+60°）
∴f（θ）=|BC|² =|OC|²+|OB|²-2|OC|•|OB|cos∠COB=2-2cos（θ+60°）
∵θ∈R，∴f（θ）∈[1，3]．

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．