Question

某学校要用鲜花布置花圃中ABCDE五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花．现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．
（Ⅰ）当A、D区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；
（Ⅱ）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（Ⅲ）记ξ为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）当A、D区域同时用红色鲜花时，其它区域不能用红色，即可求出答案．
（II）颜色相同的区域只可能是区域A、D和区域B、E，求出基本事件的总数和恰有两个区域用红色鲜花所包含的基本事件的个数即可求得．
（III）花圃中红色鲜花区域的块数可能为0，1，2．求出相应的概率即可求得分布列及期望．

解答：解：（I）当A、D区域同时用红色鲜花时，其它区域不能用红色，
布置花圃的不同方法的种数4×3×3=36种．
（II）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图：
当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；
当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种
又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；
B、E为红色时，共有4×3×3=36种；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P（M）=

72

420

=

6

35

．
（III）由题意可得：随机变量ξ的取值分别为0，1，2．
则当ξ=0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，
若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2=48种；
若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1=24种；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72种，
所以P（ξ=0）=

72

420

=

6

35

；
由第（2）可得P（ξ=2）=

6

35

；
所以P（ξ=1）=1-

6

35

-

6

35

=

23

35

．
从而随机变量X的分布列为

ξ	0	1	2
P	6 35	23 35	6 35

∴E（ξ）=0×

6

35

+1×

23

35

+2×

6

35

=1．

点评：解决此类问题的根据是熟练利用排列与组合的知识对区域进行涂色，以及掌握等可能事件概率的计算公式与离散型随机变量的期望与方差．