Question

（文科）已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，点P（n，S_n）（n∈N）在函数f（x）=-x²+7x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）令bn=

2an

(n∈N*)，求数列{nb_n}的前n项的和；
（3）设cn=

1

(7-an)(9-an)

，数列{c_n}的前n项的和为R_n，求使不等式Rn＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

分析：（1）由于点P（n，S_n）（n∈N）在函数f（x）=-x²+7x的图象上．可得S_n．利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁，即可得出a_n．再利用二次函数的单调性即可得出S_n的最值；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用“裂项求和”得出R_n，求出其最小值即可．

解答：解：（1）∵点P（n，S_n）（n∈N）在函数f（x）=-x²+7x的图象上．
∴Sn=-n2+7n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8
当n=1时，a₁=S₁=6满足上式，
∴a_n=-2n+8．
又Sn=-n2+7n=-(n-

7

2

)2+

49

4

，且n∈N^*
∴当n=3或4时，S_n取得最大值12．
（2）由题意知bn=

2-2n+8

=24-n
∴数列{nb_n}的前n项的和为Tn=1×23+2×22+…+(n-1)×2-n+5+n×2-n+4
∴

1

2

Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3，
相减得

1

2

Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3，
∴Tn=

16[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×24-n=32-(n+2)×24-n(n∈N*)．
（3）由（1）得cn=

1

(7-an)(9-an)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Rn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)
易知R_n在n∈N^*上单调递增，∴R_n的最小值为R1=

1

3

不等式Rn＞

k

57

对一切n∈N^*都成立，则

1

3

＞

k

57

，即k＜19．
所以最大正整数k的值为18．

点评：本题考查了利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁”得出a_n、二次函数的单调性、“错位相减法”、“裂项求和”、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．