Question

某公司准备在门前建造一个长轴为20米，短轴长为16米的椭圆形喷水池．在长轴上的M₁、M₂处设计两个喷水头，使喷出的水花形成有相等半径的⊙M₁与⊙M₂，且⊙M₁与⊙M₂外切，两圆均与椭圆内切．试确定点M₁与M₂的位置及其半径．

Answer 1

分析：以⊙M₁与⊙M₂的切点为原点，M₁、M₂所在的线为x轴建立平面直角坐标系．依题意可知圆的方程，设出圆2的方程，联立消去y，根据位置与椭圆相切可知判别式等于0求得r，

解答：解：以⊙M₁与⊙M₂的切点为原点，M₁、M₂所在的线
为x轴建立平面直角坐标系．
则椭圆的方程为

x2

100

+

y2

64

=1，设⊙M₂的方程为（x-r）²+y²=r²．
由

(x-r)2+y2=r2 x2 100 + y2 64 =1

，得9x²-50rx+1600=0．而⊙M₂内切于椭圆，
∴△=（-50r）²-4×9×1600=0，解得r=4.8．
答：点M₁在长轴中点向左4.8米处，点M₂在长轴中点向右4.8米处．其半径均为4.8米．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生数形结合的思想和解决实际问题的能力．