Question

（2012•浦东新区一模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosA=

4

5

，a=

6

5

．
（1）当B=

π

3

时，求b的值；
（2）设B=x（0＜x＜

π

2

），求函数f（x）=b+4

3

cos2

x

2

的值域．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，先求出sinA的值，再由正弦定理求得b的值．
（2）由正弦定理可得 b=2sinx，代入f（x）=b+4

3

cos2

x

2

化简为4sin（x+

π

3

）+2

3

，再由0＜x＜

π

2

，求出sin（x+

π

3

） 的范围，即可求得 函数f（x）的值域．

解答：解：（1）△ABC中，由于cosA=

4

5

，故sinA=

3

5

，…（2分）
∴

b

sin π 3

=

6 5

sinA

=2，b=

3

．…（6分）
（2）由正弦定理可得

b

sinx

=

6 5

sinA

=2，得 b=2sinx，…（7分）
∴f（x）=b+4

3

cos2

x

2

=2sinx+4

3

 cos² 

x

2

=2sinx+2

3

cosx+2

3

=4sin（x+

π

3

）+2

3

．…（11分）
∵0＜x＜

π

2

，∴x+

π

3

∈（

π

3

，

5π

6

），sin（x+

π

3

）∈（

1

2

，1]，…（12分）
∴函数f（x）的值域为 （2+2

3

，4+2

3

]．…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理以及正弦函数的定义域和值域的应用，属于中档题．