Question

选修4-2：矩阵与变换  已知矩阵，向量，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量，使得.

Answer 1

（Ⅰ）由 得，
当时，求得对应的特征向量为，
时，求得对应的特征向量为；
（Ⅱ）设向量，由 得.

本试题主要是考查而来矩阵与变换的综合运用。矩阵的特征值和对应的特征向量，以及跟木向量与矩阵的关系得到向量的求解的综合运用。
（1）因为由，那么可以解得参数的值。并且讨论得到对应的特征向量
（2）设向量，由矩阵的运算可知，从而解得
解：（Ⅰ）由 得，
当时，求得对应的特征向量为，
时，求得对应的特征向量为；………………………4分
（Ⅱ）设向量，由 得.………………7分