Question

（1）用函数单调性定义证明f（x）=x+

2

x

在x∈（0，

2

）上是减函数；
（2）求函数y=

2(x2+x)

x-1

（2≤x＜4）的值域．

Answer 1

分析：（1）设x₁，x₂是（0，

2

）上的任意两个值，且x₁＜x₂，通过作差证明f（x₂）＜fx₁）即可；
（2）令t=x-1（1≤t＜3），则x=t+1，可得y=2（t+

2

t

+3），易知函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，从而可得值域；

解答：（1）证明：设x₁，x₂是（0，

2

）上的任意两个值，且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，所以f（x₂）-f（x₁）=x2+

2

x2

-x1-

2

x1

=（x₂-x₁）+

2(x1-x2)

x1x2

=（x₂-x₁）•

x1x2-2

x1x2

，
∵0＜x₁＜

2

，0＜x₂＜

2

，
∴0＜x₁x₂＜2，x₁x₂-2＜0，
又x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜fx₁），
∴f（x）=x+

2

x

在x∈（0，

2

）上是减函数；
（2）令t=x-1（1≤t＜3），则x=t+1，
∴y=

2[(t+1)2+(t+1)]

t

=

2(t2+3t+2)

t

=2（t+

2

t

+3），
由（1）知y=2（t+

2

t

+3）在x∈（0，

2

）上单调递减，
同理可证y=2（t+

2

t

+3）在（

2

，+∞）上单调递增，
∴当t=

2

即x=

2

+1时，y_min=2（3+2

2

），当t=3即x=4时，y=

40

3

；当t=1即x=2时，y=12；
∴原函数的值域为[2（3+2

2

），

40

3

）．

点评：本题考查函数单调性的证明及其应用，考查函数的值域的求解，属中档题．