Question

已知曲线y=

1

x

和y=x²
（1）求它们的交点；
（2）分别求它们在交点处的切线方程；
（3）求两条切线与x轴所围成的三角形面积．

Answer 1

分析：（1）联立方程可得曲线y=

1

x

和y=x²在它们的交点坐标；
（2）求导数，确定函数在（1，1）处的切线的斜率，从而可求切线方程；
（3）确定两条切线与x轴所围成的三角形三个顶点的坐标，即可求得两条切线与x轴所围成的三角形面积．

解答：解：（1）联立方程可得

y= 1 x y=x2

，解得x=1，y=1
∴曲线y=

1

x

和y=x²在它们的交点坐标是（1，1）；…（2分）
（2）y=

1

x

的导函数为y′=-

1

x2

，∴在（1，1）处的切线的斜率为-1，
∴切线方程为y-1=-（x-1），即y=-x+2
y=x²的导函数为y=2x，∴在（1，1）处的切线的斜率为2，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1，…（8分）
（3）两条切线与x轴所围成的三角形如图所示，两条切线与x轴的交点坐标分别为（2，0），（

1

2

，0），两条切线交点是（1，1），
∴两条切线与x轴所围成的三角形面积是

3

4

．…（14分）

点评：本题考查曲线的切线方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．