Question

设集合A＝{x|x＝m²＋n²，m，n∈Z}，若a，b∈A．

证明：(1)ab∈A；(2)＝p²＋q²其中b≠0，p，q∈Q．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵a，b∈A， 　　∴可设a＝m12＋n12，b＝m22＋n22，其中m1，n1，m2，n2∈Z． 　　∴ab＝(m12＋n12)(m22＋n22)＝(m1m2)2＋(n1n2)2＋(m1n2)2＋(m2n1)2＝(m1m2＋n1n2)2＋(m1n2－m2n1)2 　　∵m1，m2，n1，n2∈Z，∴m1m2＋n1n2，m1n2－m2n1∈Z，∴ab∈A． 　　(2)

提示：

思路分析：由a，b∈A，可设出a，b的表达式．然后代入ab化简可作出，(2)的证明可利用(1)的结论加以论证． 　　思想方法小结：此题证明的关键在于ab∈A的解决，即a，b∈A，ab能够写成m2＋n2，m，n∈Z．