Question

给出下列五个命题：
①已知直线a，b和平面α，若a∥b，b∥α，则a∥α；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则直线y=

b

a

x+m（m∈R）与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过M（2，0）的直线l与椭圆

x2

2

+y²=1交于P₁P₂两点，线段P₁P₂中点为P，设直线l斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于-

1

2

．
其中，正确命题的序号为

④⑤

．

Answer 1

分析：①利用线面平行的性质．②结合抛物线的定义及条件．③利用双曲线渐近线的性质．④利用面面垂直的判定定理．⑤利用直线与椭圆的位置关系以及点差法求解．．

解答：解：①线面平行的前提条件是直线a?α，所以条件中没有a?α，所以①错误．
②当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误．
③因为双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误．
④根据面面垂直的性质定理可知，只有当平面内的直线垂直于交线时，才垂直于另一个平面，否则将不和另一个平面垂直，所以④正确．
⑤设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），中点P（x₀，y₀），则k1=

y1-y2

x1-x2

，k2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，
把P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）分别代入椭圆方程

x2

2

+y²=1，
得

x

2 1

+2

y

2 1

=2 ①

x

2 2

+2

y

2 2

=2 ②，两式相减得

x

2 1

-

x

2 2

+2(

y

2 1

-

y

2 2

)=0，
整理得

y1+y2

x1+x2

?

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，即k1k2=-

1

2

，所以⑤正确．
所以正确命题的序号为④⑤．
故答案为：④⑤．

点评：本题考查空间线面平行于垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断．考查学生的运算能力．