Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D_l中，AB=5，AD=8，
AA₁=4，M为B₁C₁上一点且B₁M=2，点N在线段A₁D上，A₁D⊥AN．
（1）求cos＜

A1D

，

AM

＞；
（2）求直线AD与平面ANM所成角的大小；
（3）求平面ANM与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，写出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角的余弦．
（2）利用线面垂直的判断定理得到

A1D

⊥平面AMN，利用向量的数量积公式求出法向量

A1D

与

AD

所成角的余弦，
其绝对值为直线与面所成角的正弦．
（3）求出两个面的法向量，利用向量的数量积求出两个法向量的夹角余弦，即两面所成角的余弦或余弦的相反数．

解答：解：（1）建立空间直角坐标系如图．
可得向量

AM

=（5，2，4），
向量

A1D

=（0，8，-4），

AM

•

A1D

=0+16-16=0
∴

AM

=⊥

A1D

，
即cos＜

AM

，

A1D

＞=0．
（2）

A1D

⊥AM，

A1D

⊥AN，∴

A1D

⊥平面AMN，
∴向量

A1D

=（0，8，-4），是平面AMN的一个法向量，
又

AD

=（0，8，0），|

A1D

|=4

5

，
|

AD

|=8，

A1D

•

AD

=64；
∴cos＜

A1D

，

AD

＞=

64

4 5 ×8

=

2

5

=

2 5

5

，
∴AD与平面AMN所成的角为

π

2

-arccos

2 5

5

．
（3）∵平面AMN的法向量是

A1D

=（0，8，-4），平面ABCD的法向量是

AA1

=（0，0，4），∴cos＜

A1D

，

AA1

＞=

A1D ? AA1

| A1D || AA1 |

=

-4

4 5

=-

5

5

；
∴平面AMN与平面ABCD所成的角为arccos

5

5

．

点评：本题考查利用向量的数量积求两个向量的夹角余弦、求直线与平面所成的角的正弦、求两个平面所成的角的余弦．