Question

已知平面内动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与其到定直线l：x=4的距离之比是

1

2

，设动点P的轨迹为M，轨迹M与x轴的负半轴交于点A，过点F的直线交轨迹M于B、C两点．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：当且仅当直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形；
（3）△ABC的面积是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，则4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，由此能求出轨迹M的方程．
（2）由轨迹M与x轴的负半轴交于点A（-2，0）．知直线BC过点A时，A，B，C三点不能构成三角形，故直线BC的斜率不等于0，设直线BC的方程为x=my+1，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0．再由韦达定理进行求解．
（3）设△ABC的面积存在最值．由点A到直线BC的距离d=

3

1+m2

，|BC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=

12(m2+1)

3m2+4

．故△ABC的面积S=

1

2

|BC|•d=

18 1+m2

3m2+4

．由此能够导出△ABC的面积S∈（0，

9

2

]．

解答：解：（1）由题意得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
则4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，
即3x²+4y²=12，∴

x2

4

+

y2

3

=1，即是轨迹M的方程．
（2）由（1）易知轨迹M与x轴的负半轴交于点A（-2，0）．
直线BC过点A时，A，B，C三点不能构成三角形，故直线BC的斜率不等于0，故可设直线BC的方程为x=my+1，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则
y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

如果△ABC是以BC为底边的等腰三角形，必有|AB|=|AC|，
∴（x₁+2）²+y₁²=（x₂+2）²+y₂²，
∴（x₁+x₂+4）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴[m（y₁+y₂）+6][m（y₁-y₂）]+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵y₁≠y₂，∴（m²+1）（y₁+y₂）+6m=0，
∴（m²+1）（-

6m

3m2+4

）+6m=0，
∴m=0或

m2+1

3m2+4

=1（无解），即如果△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则m=0，此时直线BC垂直于x轴．
反之，当直线BC垂直于x轴时，直线BC的方程是x=1，
易知B（1，-

3

2

），C（1，

3

2

）或B（1，

3

2

），C（1，-

3

2

），
此时|BC|=3，|AB|=|AC|=

3 5

2

，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
故直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
综上可得：当且仅当直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
（3）存在最大值

9

2

，不存在最小值．
设△ABC的面积存在最值．由（2）知点A到直线BC的距离d=

3

1+m2

；
|BC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)[(3m2+4)2+ 36 3m2+4 ]

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=

12(m2+1)

3m2+4

．
故△ABC的面积S=

1

2

|BC|•d=

18 1+m2

3m2+4

．
令t=

1+m2

，则t≥1且m²=t²-1，则

1+m2

3m2+4

=

t

3t2+1

=

1

3t+ 1 t

，
令g（t）=3t+

1

t

，则g′（t）=3-

1

t2

，当t≥1时g′（t）恒大于0，
故函数g（t）=3t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增，故函数g（t）的值域为[4，+∞），故

1

g(t)

∈（0，

1

4

]，
所以△ABC的面积S∈（0，

9

2

]，即△ABC的面积存在最大值

9

2

，不存在最小值．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意培养解题能力，提高解题技巧．