Question

已知向量

a

=(

3

-m，sinx)，

b

=(1，4cos(x+

π

3

))（m∈R，且m为常数），设函数f（x）=

a

•

b

，若f（x）的最大值为1．
（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C 的对边a、b、c，若f（B）=

3

-1，且

3

a=b+c，试判断三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标表示，求出f（x）的表达式，根据f（x）的最大值为1，求出m的值，从而可以求出f（x）的单调递增区间；
（2）根据f（B）=

3

-1，可以求得B，再根据正弦定理，将

3

a=b+c化为角表示，利用角A，B，C的关系，即可求出角A，从而得到角C，即可判断出三角形的形状．

解答：解：（1）∵

a

=(

3

-m，sinx)，

b

=(1，4cos(x+

π

3

))（m∈R，且m为常数），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

-m+4sinxcos（x+

π

3

）=2sin（2x+

π

3

）-m，
∴当sin（2x+

π

3

）=1时，f（x）取最大值2-m，
∵f（x）的最大值为1，
∴2-m=1，即m=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）-1，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，解得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，(k∈Z)；
（2）∵f（B）=

3

-1，
∴2sin（2B+

π

3

）-1=

3

-1，即sin（2B+

π

3

）=

3

2

，
∵B∈（0，π），则2B+

π

3

∈（

π

3

，2π+

π

3

），
∴2B+

π

3

=

2π

3

，解得B=

π

6

，
∵

3

a=b+c，根据正弦定理得，

3

sinA=sinB+sinC，
∵A+B+C=π，且B=

π

6

，则C=

5π

6

-A，
∴

3

sinA=sinB+sin（

5π

6

-A），
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵A∈（0，

5π

6

），则A-

π

6

∈（-

π

6

，

2π

3

），
∴A-

π

6

=

π

6

，在A=

π

3

，
∴C=π-A-B=

π

2

，
∴△ABC为直角三角形．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦公式，三角函数的单调性的求解，三角形形状的判断．是向量与三角函数以及解三角形的一个综合应用题．对于三角形形状的判定，一般将所给的条件利用正弦定理或余弦定理转化成边或角进行求解．属于中档题．