Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2。
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l₀与y轴交于M（0，m），求m的取值范围。

Answer 1

解：（1）设双曲线C的方程为
（a>0，b>0）
由已知得：a=，c=2，
再由a²+b²=c²，
∴b²=1
∴双曲线C的方程为。
（2）设A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）
将y=kx+代入
得（1-3k²）x²-6kx-9=0
由题意知
解得
∴当时，l与双曲线左支有两个交点。
（3）由（2）得：x_A+x_B=
∴y_A+y_B=（kx_A+）+（kx_B+）=k（x_A+x_B）+2=
∴AB的中点P的坐标为
设直线l₀的方程为：
将P点坐标代入直线l₀的方程，得
∵
∴-2<1-3k²<0
∴m<-
∴m的取值范围为。