Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，已知|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长S的最大值．

Answer 1

分析：（I）由|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，知当且仅当|PF₂|取最小值时，|PT|取最小值．由|PF₂|_min=a-c，能得到离心率e的取值范围．
（II）由Q（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），联立方程组

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2-1

，x1x2+y1y2=

k2-a2

a2k2+1

，再由OA⊥OB知k=a，直线方程为ax-y-a=0，再由圆心到F₂（c，0）到直线l的距离d=

|ac-a|

a2+1

，能求出S的最大值．

解答：解：（I）由题意|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，
当且仅当|PF₂|取最小值时，|PT|取最小值，
∵|PF₂|_min=a-c，
∴

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

(a-c)，
即0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，解得

3

5

≤e＜

2

2

．
∴离心率e的取值范围是[

3

5

，

2

2

）．
（II）∵Q（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），
联立方程组

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2+1

，
∴y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

k2(1-a2)

a2k2+1

，
∴x1x2+y1y2=

k2-a2

a2k2+1

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即k²=a²，
∴k=a，直线方程为ax-y-a=0，
∴圆心到F₂（c，0）到直线l的距离d=

|ac-a|

a2+1

，
由

d

S 2

=a，知S=

2d

a

=

2|c-1|

a2+1

=2

c2-2c+1 c2+2

=2

1- 4 2c+1+ 9 2c+1 -2

，
∵

3

5

≤c＜

2

2

，∴

3

4

≤c＜1，
∴

5

2

≤2c+1＜3，
∴S∈(0，

2 41

41

]，
故S的最大值为

2 41

41

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．