Question

17．平面内动点P（x，y）与两定点A（-2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于-$\frac{1}{3}$，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（-1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D
（1）求曲线E的方程；
（2）求证：AC⊥AD．

Answer 1

分析 （1）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：$\frac{y}{x-2•}$$\frac{y}{x+2}$=-$\frac{1}{3}$，化简得曲线E的方程；
（2）设CD方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC⊥AD．

解答 （1）解：设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：$\frac{y}{x-2•}$$\frac{y}{x+2}$=-$\frac{1}{3}$，化简得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1，
故曲线E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1（x≠±2）．
（2）证明：CD斜率不为0，所以可设CD方程为my=x+1，与椭圆联立得：（m²+3）y²-2my-3=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），所以y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+3}$．
（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=（m²+1）（-$\frac{3}{{m}^{2}+3}$）+m•$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$+1=0，
所以AC⊥AD．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．