Question

函数f(x)=(

1

3

)

6+x-x2

的定义域为M，函数g（x）=4^x-2^x+1（x∈M）
（1）求M；    
（2）求函数f（x）的单调区间（直接写出答案）；
（3）求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用被开方数大于大于0，可求函数的定义域；
（2）利用指数函数单调减，结合二次函数的单调性，可得结论；
（3）利用换元法，转化为二次函数，即可求函数g（x）的值域．

解答：解：（1）由6+x-x²≥0，可得-2≤x≤3，∴函数定义域M为[-2，3]；
（2）单调递减区间为[-2，

1

2

)，单调递增区间为[

1

2

，3]
（3）令t=2^x（

1

4

＜t＜8），则
∵g（x）=4^x-2^x+1，
∴y=t²-2t=（t-1）²-1
∵

1

4

＜t＜8
∴t=1时，y_min=-1；t=8时，y_max=48
∴函数g（x）的值域为[-1，48]

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的定义域，考查函数的最值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．