Question

（2012•嘉定区三模）如图，角θ的始边OA落在x上轴，其始边、终边分别与单位圆交于点A、C（0＜θ＜

π

2

），△AOB为等边三角形．
（1）若点C的坐标为（

4

5

，

3

5

），求cos∠BOC的值；
（2）设f（θ）=|BC|²，求函数f（θ）的解析式和值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，∠BOC=θ+

π

3

，因为点C的坐标为（

4

5

，

3

5

），求得sinθ=

3

5

和cosθ 的值，再利用两角和的余弦公式求得cos∠BOC=cos（θ+

π

3

） 的值．
（2）在△BOC中，由余弦定理，求得 f（θ ）=2-2cos（θ+

π

3

），根据 0＜θ＜

π

2

，利用余弦函数的定义域和值域求得f（θ）的值域．

解答：解：（1）由题意可得，∠BOC=θ+

π

3

，因为点C的坐标为（

4

5

，

3

5

），
所以，sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

．…（3分）
所以，cos∠BOC=cos（θ+

π

3

）=

4

5

×

1

2

-

3

5

×

3

2

=

4-3 3

10

．…（6分）
（2）在△BOC中，由余弦定理，BC²=OB²+OC²-2OB•OC•cos∠BOC，…（7分）
所以，f（θ ）=2-2cos（θ+

π

3

 ）．…（10分）
因为 0＜θ＜

π

2

，所以

π

3

＜θ+

π

3

＜

5π

6

，…（11分）
所以，f（θ）∈（1，2+

3

）．…（13分）
因此，函数f（θ ）=2-2cos（θ+

π

3

） （0＜θ＜

π

2

），即f（θ）的值域是（1，2+

3

）．（14分）

点评：本题主要考查余弦定理的应用，两角和的余弦公式，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．