Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.

(1)试求常数a、b、c的值；

(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.

Answer 1

(1) a= (2) 当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1. 

解析:

(1)f′(x)=3ax²+2bx+c

∵x=±1是函数f(x)的极值点，

∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax²+2bx+c=0的两根.

由根与系数的关系，得                                               

又f(1)=－1,∴a+b+c=－1,                                ③

由①②③解得a=,

(2)f(x)=x³－x,

∴f′(x)=x²－=(x－1)(x+1)

当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0

当－1＜x＜1时，f′(x)＜0

∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数.

∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1.