Question

如图所示,某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路.为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路,分别在通往正西和东北方向的公路上任取A、B两点,使环城公路在A、B间为直线段.要求AB路段与市中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小,请你确定A、B两点的最佳位置(不要求作近似计算).

Answer 1

思路分析:通过|OA|与|OB|建立|AB|的函数关系式,再通过不等式知识求解.

解:令|OA|=a km,|OB|=b km,

    且在△AOB中,∠AOB=135°,

∴·|0|·|AB|=absin135°.

∴|AB|=.                                                                                  ①

    又由余弦定理得

|AB|=≥=,      ②

    当且仅当a=b时取等号.

    由①②知≥(2+)ab.

∵ab＞0,∴ab≥200(2+),                                                               ③

    将③代入①,得|AB|=≥20(+1).

    当a=b时,|AB|取得最小值,

    而当a=b时,△AOB为等腰三角形,

∴∠OAB=∠OBA=.

∴a=b==10.

∴A、B两点的最佳位置是距市中心O均为10 km处.