Question

9．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，圆x²+y²=$\frac{4}{5}$与直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$相切，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知定点Q（t，0）（t＞0），斜率为1的直线l过点Q且与椭圆E交于不同的两点C，D，若$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OC}$+sinθ•$\overrightarrow{OD}$，且对于任意θ∈[0，2π）总有点N在椭圆E上，求满足条件的实数t的值．

Answer 1

分析 （1）由圆x²+y²=$\frac{4}{5}$与直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$相切，可得$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，化为5a²b²=4（a²+b²）．联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{5{a}^{2}{b}^{2}=4（{a}^{2}+{b}^{2}）}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），N（x₀，y₀）．可得${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．直线l的方程为：y=x-t，与椭圆方程联立化为5x²-8tx+4t²-4=0．△＞0，由$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OC}$+sinθ•$\overrightarrow{OD}$，利用向量坐标运算及相等、根与系数的关系可得：x₀=x₁cosθ+x₂sinθ，y₀=y₁cosθ+y₂sinθ．代入椭圆方程可得：x₁x₂+4y₁y₂=0，把根与系数的关系代入解出即可．

解答 解：（1）∵圆x²+y²=$\frac{4}{5}$与直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$相切，
∴$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，化为5a²b²=4（a²+b²）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{5{a}^{2}{b}^{2}=4（{a}^{2}+{b}^{2}）}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），N（x₀，y₀）．
则${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．
直线l的方程为：y=x-t，与椭圆方程联立可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为5x²-8tx+4t²-4=0．
△=64t²-20（4t²-4）＞0，解得$-\sqrt{5}$＜t$＜\sqrt{5}$．
∴x₁+x₂=$\frac{8t}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$．
∵$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OC}$+sinθ•$\overrightarrow{OD}$，
∴（x₀，y₀）=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ），
∴x₀=x₁cosθ+x₂sinθ，y₀=y₁cosθ+y₂sinθ．
∵对于任意θ∈[0，2π）总有点N在椭圆E上，
代入椭圆方程可得：$（{x}_{1}cosθ+{x}_{2}sinθ）^{2}$+4$（{y}_{1}cosθ+{y}_{2}sinθ）^{2}$=4，
化为$（{x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}）co{s}^{2}θ$+$（{x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}）si{n}^{2}θ$+（2x₁x₂+8y₁y₂）cosθsinθ=4，
∴x₁x₂+4y₁y₂=0，
∴x₁x₂+4（x₁-t）（x₂-t）=0，
化为5x₁x₂-4t（x₁+x₂）+4t²=0．
∴$5×\frac{4{t}^{2}-4}{5}$-$\frac{32{t}^{2}}{5}$+4t²=0．
化为t²=$\frac{5}{2}$，（t＞0）．
解得t=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
满足△＞0．
∴满足条件的实数t=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切性质、点到直线的距离公式、点与椭圆的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．