Question

（06年四川卷理）（12分）

如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,

M、N分别是AE、的中点,

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。

Answer 1

本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。

解析：解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结

       ∵分别为的中点

       ∵

       ∴面，面

     ∴面面   ∴面

（Ⅱ）设为的中点

∵为的中点   ∴   ∴面

作，交于，连结，则由三垂线定理得

从而为二面角的平面角。

在中，，从而

在中，

故：二面角的大小为

      （Ⅲ）

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴

方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，

则

∵分别是的中点

∴

（Ⅰ）

       取，显然面

        ，∴

又面  ∴面

（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵

设，则

又

由，及在直线上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为

（Ⅲ）设为平面的法向量，则

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴点到平面的距离为

    ∵， 

     ∴

     ∴