Question

证明：xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．

Answer 1

证明：当n=1时，
xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x-x=0
易得此时xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除成立；
设n=k时，xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除成立，
即x^k-ka^k-1x+（k-1）a^k能被（x-a）²整除成立，
则n=k+1时，
xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x^k+1-（k+1）a^kx+ka^k+1
=x^k-ka^k-1x+（k-1）a^k+ka^k─1（x─a）²
即xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x^k+1-（k+1）a^kx+ka^k+1也能被（x-a）²整除
综合，xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．