Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，分别取n=2，3，能够得到a₂，a₃的值；
（2）由

an+n

an-1+(n-1)

=

(2an-1+n-2)+n

an-1+n-1

=

2an-1+2n-2

an-1+n-1

=2，知数列a_n+n是首项为a₁+1=4，公比为2的等比数列．由此能求出{a_n}的通项公式；
（3）由a_n的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺），知S_n=（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+3+…+n），从而得到数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：（1）解：∵a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N⁺）
∴a₂=2a₁+2-2=6（2分）
a₃=2a₂+3-2=13（4分）

（2）证明：∵

an+n

an-1+(n-1)

=

(2an-1+n-2)+n

an-1+n-1

=

2an-1+2n-2

an-1+n-1

=2
∴数列a_n+n是首项为a₁+1=4，
公比为2的等比数列．（7分）
∴a_n+n=4?2^n-1=2ⁿ⁺¹，
即a_n=2ⁿ⁺¹-n
∴a_n的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺）（9分）

（3）解：∵a_n的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺）
∴S_n=（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+3+…+n）（11分）
=

22×(1-2n)

1-2

-

n×(n+1)

2

=2n+1-

n2+n+8

2

（13分）

点评：本题考查数更的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．