Question

（2012•崇明县二模）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，AB=2，AP=2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大小．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定证明BD⊥平面PAC，证明AC⊥BD、PA⊥BD即可；
（2）以A为原点，建立直角坐标系，求出平面FAE法向量

n

=(1，-2，1)，

BD

=(2，-2，0)，利用向量的夹角公式，即可求二面角E-AF-C的大小．

解答：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：以A为原点，如图所示建立直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），F（1，1，1）
∴

AE

=(2，1，0)，

AF

=(1，1，1)
设平面FAE法向量为

n

=（x，y，z），则

2x+y=0 x+y+z=0

，∴可取

n

=(1，-2，1)
∵

BD

=(2，-2，0)，
∴cosθ=|

n • BD

| n || BD |

|=|

2+4

2 2 × 6

|=

3

2

所以θ=

π

6

，即二面角E-AF-C的大小为

π

6

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．