Question

椭圆的一个顶点与其两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  1

  4

• C．

  1

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：根据题意，椭圆短轴的端点与其两个焦点构成等边三角形．以焦点在x轴的椭圆为例，设出方程并根据等边三角形的性质建立关于a、b、c的等式，化简并利用椭圆的性质即可算出此椭圆的离心率．

解答：解：根据题意，椭圆短轴的端点与其两个焦点构成等边三角形
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
可得椭圆的短轴的顶点为（0，±b），焦点坐标为（±c，0），其中c=

a2-b2

∵椭圆的短轴的端点与其两个焦点构成等边三角形，
∴b=

3

c，可得

a2-c2

=

3

c，平方化简得a=2c
因此该椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

点评：本题给出椭圆的一个顶点与其两个焦点构成等边三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．