Question

用平行于四面体ABCD的一组对棱AC和BD的平面截此四面体，得一四边形MNPQ，如图所示.

(1)求证：MNPQ是平行四边形.

(2)若AC=BD，能截得菱形吗，如何截？

(3)在什么情况下，可以截得一个矩形？

(4)在什么情况下，能截得一个正方形呢，如何截？

(5)若AC=BD=a，求证：平行四边形MNPQ的周长一定.

Answer 1

思路解析：本题以线面、面面的平行为载体，用它来解决相关的问题.对于(1)可用两组对边分别平行来证明MNPQ是平行四边形；再由比例的性质证得结论(2);当对棱垂直时,由空间等角的关系,可见四边形MNPQ的一个角是直角,从而得到结论(3);对于结论(4),只要满足既是菱形又是矩形的要求即可;对于最后的第(5)问,只要注意△AMQ∽△ABD,就可把平行四边形MNPQ的周长表示出来，从而确定它是否是与a有关的定值.

(1)证明：∵AC∥平面MNPQ，且平面ADC∩平面MNPQ=PQ，且AC?平面ADC,

∴AC∥PQ.

同理,可证AC∥MN，BD∥MQ，BD∥NP.

∴PQ∥MN，MQ∥NP.

∴四边形MNPQ为一平行四边形.

(2)解：由(1)得                                ①

由MQ∥BD，得                                ②

又AC=BD,

①÷②,得当DQ=AQ时，

PQ=MQ.

又四边形MNPQ为平行四边形，

∴MNPQ为菱形，即当Q取AD中点时可截得菱形.

(3)解：显然，当AC⊥BD时，MN⊥NP，即四边形MNPQ为矩形.

(4)解：由(2)和(3)可知，当AC=BD且AC⊥BD，并且Q为AD的中点时，四边形MNPQ为一正方形.

(5)证明：设MQ=x，PQ=y，Q为AD上一点，且AQ∶QD=m∶n，

∵△AMQ∽△ABD,∴且BD=a.

∴x=MQ=a.

同理,可得y=PQ=a.∴x+y=a+a=a.

∴周长为2(x+y)=2a,

即当AC=BD=a时，平行四边形MNPQ的周长为定值2a.

方法归纳  本小题是一道典型的发散性思维题，其中综合了几何中的多个知识点，特别是线面平行和线线平行.正确理解相关平面图形的定义是解答本题的关键.通过引入了参数可建立相关量间的关系式，消去参数后即得所求结果.