Question

7人排成一排，按以下要求分别有多少种排法？
（1）甲、乙两人排在一起；
（2）甲不在左端、乙不在右端；
（3）甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起．（答题要求：先列式，后计算）

Answer 1

分析：（1）甲和乙两个人要排列在一起，则可以把甲和乙看做一个元素，用组成的元素与其他5个人6个元素全排列，注意甲和乙之间还有一个排列，相乘得到结果．
（2）可以先做出7个人所有的排列．共有A₇⁷种结果，减去甲在左端和乙在右端的排列，这样就重复减掉了甲在左端且乙在右端的排列，最后需要加上这个结果．
（3）甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起，则先排列去掉甲乙丙之外的4个人，再从甲乙丙3个人中选2个作为一个元素，把这两个元素在4个人形成的5个空中排列．

解答：解：（1）甲和乙两个人要排列在一起，则可以把甲和乙看做一个元素，
用组成的元素与其他5个人6个元素全排列，注意甲和乙之间还有一个排列，
根据分步计数原理得到共有A₂²•A₆⁶=1440，
（2）由题意知可以先做出7个人所有的排列．共有A₇⁷种结果，
减去甲在左端和乙在右端的排列，这样就重复减掉了甲在左端且乙在右端的排列，
最后需要加上这个结果，共有A₇⁷-2A₆⁶+A₅⁵=3720
（3）甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起，
则先排列去掉甲乙丙之外的4个人，再从甲乙丙3个人中选2个作为一个元素，
把这两个元素在4个人形成的5个空中排列，
共有A₂²•C₃²•A₄⁴•A₅²=2880种结果．

点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，本题解题的关键是不相邻问题采用插空法，相邻问题采用捆绑法，按照高矮顺序排列的几个人采用全排列除以几个人之间的排列，在排列组合问题中这几种方法经常用到．