Question

6．已知函数f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x²f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域．f′（x），设k（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，判断k（x）在（0，+∞）上是减函数．然后通过f′（x）＞0，f′（x）＜0．即可f（x）的单调减区间，单调增区间．
（2）利用（1）推出当x＞1时，g（x）=x²f′（x）≤0＜1-e²，转化证明g（x）＜1+e^-2．在0＜x＜1时成立．通过分类0＜x＜1时，构造设F（x）=1-xlnx-x，求出F（x）取得最大值1+e^-2．然后推出对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

解答 解：（1）函数的定义域为：{x|x＞0}．f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，
设k（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，则$k′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}＜0$，即k（x）在（0，+∞）上是减函数．
由k（1）=0可知：当0＜x＜1时，k（x）＞0，
从而f′（x）＞0，
当x＞1时，k（x）＜0，
从而f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，1）；单调减区间为（1，+∞）．
（2）由（1）可知，当x＞1时，g（x）=x²f′（x）≤0＜1-e²，
故只需证明g（x）＜1+e^-2．在0＜x＜1时成立．
当0＜x＜1时，e^x＞1，且g（x）＞0．
∴g（x）=$\frac{x（1-xlnx-x）}{{e}^{x}}$＜x（1-xlnx-x）＜1-xlnx-x，
设F（x）=1-xlnx-x，x∈（0，1），则F′（x）=-（lnx+2）．
当x∈（0，e^-2）时，F′（x）=-（lnx+2）＞0，
当x∈（e^-2，1）时，F′（x）=-（lnx+2）＜0，
当x=e^-2时，F（x）取得最大值1+e^-2．
∴g（x）＜F（x）≤1+e^-2
对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调区间以及二次求导的应用，考查分析问题解决问题的能力．