Question

如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；

Answer 1

本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．

解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：

，化简得．

（Ⅱ）设直线的方程为：

．

设，，又，

联立方程组，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

=

=

．

解法二：（Ⅰ）由得：，

=0

，

．

所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．

（Ⅱ）由已知，，得．

则：．…………①

过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

则有：．…………②

由①②得：，即．