【题目】已知元集合的一些子集满足:每个子集至少含2个元素,每两个不同子集的交集至多含2个元素,记这些子集的元素个数的立方和为.问:是否存在不小于3的正整数,使的最大值等于2009的方幂?说明你的理由.
【答案】见解析
【解析】
设取最大值时,对应有个子集.则.
若存在某个,使,不妨设为,将的所有三元子集记为,则.
对任意的,有.
对任意的,有.
由已知,对任意的,,有
.
故可用替换原先的,形成新的子集族.
因
,
所以,替换后所有集合元素个数的立方和增加,这与的最大性矛盾.
于是,当取最大值时,每个子集元素的个数都不大于3.
又取一切的二元子集和三元子集形成的子集族满足题意,于是,它们的元素个数的立方和为
.
假设.则
. ①
若是偶数,则是偶数.从而,式①左边是4的倍数,矛盾.
所以,是奇数.
记,则
是10的约数.
结合式①知.
又因,,所以,当时,式①左边的三个因数的质因子互不相同,故只可能.此时,,而式①右边不含质因子3,矛盾.
综上,不存在不小于3的正整数,使的最大值等于2009的方幂.
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【题目】十九大指出,必须树立“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,这一理念将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展以下是近几年我国新能源汽车的年销量数据及其散点图如图所示:
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
新能源汽车的年销量万辆 |
(1)请根据散点图判断与中哪个更适宜作为新能源汽车年销量关于年份代码的回归方程模型?给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程,并预测2019年我国新能源汽车的年销量精确到
附令,
10 | 374 | 851.2 |
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【题目】某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300):
空气质量指数 | ||||||
空气质量等级 | 1级优 | 2级良 | 3级轻度污染 | 4级中度污染 | 5级重度污染 | 6级严重污染 |
该社团将该校区在2018年100天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如图,把该直方图所得频率估计为概率.
(1)请估算2019年(以365天计算)全年该区域空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);
(2)该校2019年6月7、8日将作为高考考场,若这两天中某天出现5级重度污染,需要净化空气费用8000元,出现6级严重污染,需要净化空气费用12000元,记这两天净化空气总费用为元,求的分布列及数学期望.
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【题目】“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽在《周髀算经》中注释了其理论证明,其基本思想是图形经过割补后面积不变.即通过如图所示的“弦图”,将匀股定理表述为:“勾股各自乘,并之,为弦实,开方除之,即弦”(其中分别为勾股弦);证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实”,即,化简得.现已知,,向外围大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在中间小正方形内的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】某地有A,B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒,其中只有A到过疫区,B肯定是受A感染的,对于C,因为难以判定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是,同样也假设D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量,写出X的可能取值为______,并求X的均值(即数学期望)为______.
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【题目】已知函数(,)的图像经过点,且关于直线对称,则下列结论正确的是( )
A. 在上是减函数
B. 函数的最小正周期为
C. 的解集是,
D. 的一个对称中心是
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【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点,其焦点在轴正半轴上,为直线上一点,圆与轴相切(为圆心),且,关于点对称.
(1)求圆和抛物线的标准方程;
(2)过的直线交圆于,两点,交抛物线于,两点,求证:.
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