Question

如图，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点M（-1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点．
（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（Ⅱ）若线段AB上点R满足

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，求证：RF⊥MF．

Answer 1

分析：（1）设点P（x，y），则Q（-1，y），利用数量积

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：即可．
（2）（Ⅰ）由题意直线m斜率存在且不为0，设直线m：y=k（x+1）与抛物线方程联立，利用根与系数的关系和斜率计算公式即可得出k₁+k₂．
（Ⅱ）设动点R（x，y），利用

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，即可得出x，进而即可证明RF⊥MF．

解答：解：（1）设点P（x，y），则Q（-1，y），
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），
化简得C：y²=4x．
（2）（Ⅰ）由题意直线m斜率存在且不为0，
设直线m：y=k（x+1）与抛物线方程联立

y=k(x+1) y2=4x

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵

k≠0 △＞0

，∴-1＜k＜1且k≠0．
设A(x1，y1)，B(x1，y1)则x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1．
∴k1+k2=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1+1)

x1-1

+

k(x2+1)

x2-1

=k(2+

2(x1+x2)-4

x1x2+1-(x1+x2)

)=0．
（Ⅱ）设动点R（x，y），∵

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，∴

x1+1

x-x1

=

x2+1

x2-x

，化为x=

2x1x2+x1+x2

x1+x2+2

=

2+x1+x2

x1+x2+2

=1．
∴R（1，y_R），而F（1，0），∴

RF

•

MF

=（0，-y_R）•（2，0）=0．
∴RF⊥MF．

点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量运算、数量积运算、斜率计算公式等是解题的关键．