Question

设a=x²+2x+1，b=x²+7x+1，c=mx，x＞0且m＞0，m为常数．
（1）当m=13时，求

c

a+b

的最大值；
（2）若对任意x＞0，以

a

，

b

，

c

为三边长总能构成三角形，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）代入利用基本不等式即可得出；
（2）由于b＞a＞0，可得

b

＞

a

＞0．由三角形的三边的大小关系可得

b + a ＞ c a + c ＞ b

，即

x2+7x+1 + x2+2x+1 ＞ mx x2+2x+1 + mx ＞ x2+7x+1

对x＞0恒成立．
化为

x+7+ 1 x + x+2+ 1 x ＞ m x+7+ 1 x - x+2+ 1 x ＜ m

对x＞0恒成立，利用x+

1

x

≥2即可得出．

解答：解：（1）由已知得

c

a+b

=

13x

2x2+9x+2

=

13

2(x+ 1 x )+9

，
∵x＞0，
∴x+

1

x

≥2，
∴

c

a+b

≤1，当x=1时取等号，
∴

c

a+b

的最大值是1． 
（2）∵b＞a＞0，∴

b

＞

a

＞0．
∴

b + a ＞ c a + c ＞ b

，
即

x2+7x+1 + x2+2x+1 ＞ mx x2+2x+1 + mx ＞ x2+7x+1

对x＞0恒成立．
∴

x+7+ 1 x + x+2+ 1 x ＞ m x+7+ 1 x - x+2+ 1 x ＜ m

对x＞0恒成立                  
∵

x+7+ 1 x

+

x+2+ 1 x

≥

7+2

+

2+2

=5（x=1去等号），
∴5＞

m

，m＜25．
又∵

x+7+ 1 x

-

x+2+ 1 x

=

5

x+7+ 1 x + x+2+ 1 x

≤1，
∴

m

＞1，m＞1．
综上得：1＜m＜25．

点评：本题考查了基本不等式、三角形的三边大小关系、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．