Question

12．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R．
（1）求f（x）取最大值时相应的x的集合；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 由三角函数化简可得$y=sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
（1）当$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，即$x=4kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$时，y取得最大值，可得此时x的集合；
（2）由周期公式可得最小正周期，解$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$可得单调递增区间．

解答 解：由三角函数化简可得$y=sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
（1）当$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，即$x=4kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$时，y取得最大值2，
此时x的集合为$\left\{{x|x=4kπ+\frac{π}{3}，k∈Z}\right\}$；
（2）由周期公式可得最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$，
解$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$可得$-\frac{5π}{3}+4kπ≤x≤\frac{π}{3}+4kπ，k∈Z$；
∴函数f（x）的单调增区间为：$[-\frac{5π}{3}+4kπ，\frac{π}{3}+4kπ]，k∈Z$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．