Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（-

3

2

，

3

2

），且离心率为e=

6

3

，过椭圆中心两条弦PR与QS互相垂直，圆C₁：x²+y²=

3

4

．
（1）求椭圆的标准方程； 
（2）若点P为椭圆上任意一点，试探讨四边形PQRS与 圆C₁的位置关系；
（3）在（2）条件下，求四边形PQRS面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（-

3

2

，

3

2

），且离心率为e=

6

3

，通过联立方程组求得a、b的值，即可求出椭圆的标准方程．
（2）设直线QS的方程为y=kx，利用已知条件建立k的等式，财利用方程的基础知识进行化简．
（3）在（2）的基础上求内接菱形PQRS的面积的取值范围，当QS的斜率存在且不为0时，先求出s12=

36(k+ 1 k )2

3(k2+ 1 k2 )+10

，记k+

1

k

=t，由此能求出四边形PQRS面积的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可知

3

4a2

+

3

4b2

=1，e=

6

3

，所以

c

a

=

6

3

，则c=

2

， a=

3

，b=1，
所以椭圆方程为

x2

3

+y²=1．（ 4分）
（2）因过椭圆中心两条弦PR与QS互相垂直，所以由图形的对称性可知四边形PQRS为菱形，即研究椭圆的任意内接菱形PQRS与圆C₁
的位置关系，只需求原点O到它每的每一条边距离d．
当PR的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，原点O到每条边的距离都是

ab

a2+b2

=

3

2

，此时菱形与圆相切．
若当SQ的斜率存在或且不为0时，设SQ的斜率为k，不妨设k＞0，直线SQ的方程为y=kx，代入椭圆方程为

x2

3

+y²=1得x2=

a2b2

k2a2+b2

=

3

3k2+1

．
菱形PQRS的四个顶点必然分别在四个象限中，不妨设S、P、Q、R依次在第一二三四象限，
则有S（

3

3k2+1

，

3 k

3k2+1

），将点S坐标中的k换成-

1

k

，则可得P（-

3 k

3+k2

，

3

3+k2

）．
菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，原点O到每条边的距离都是

ab

a2+b2

=

3

2

，此时菱形与圆相切．
则SP2=(

3

3k2+1

+

3 k

3+k2

)2+(

3 k

3k2+1

-

3

3+k2

)2=

(k2+1)2×12

(3k2+1)(3+k2)

，
又OS2=

3(k2+1)

3k2+1

，OP2=

3(k2+1)

3+k2

，记原点到SP的距离为d，
则d2=

OS2•OP2

SP2

=

3(k2+1)

3k2+1

•

3(k2+1)

3+k2

/

(k2+1)2×12

(3k2+1)(3+k2)

=

3

4

，即d=

3

2

=r．
同理可求得原点O到PQ、QR、RS的距离都是

3

2

=r，所以四边形PQRS与 圆C₁相切．（9分）
（3）记菱形PQRS的面积为S，当SQ的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，S=2ab=2

3

；
若当SQ的斜率存在或且不为0时，设SQ的斜率为k，不妨设k＞0，直线SQ的方程为y=kx，
代入椭圆方程为

x2

3

+y²=1得x2=

a2b2

k2a2+b2

=

3

3k2+1

．由（2）知OS2=

3(k2+1)

3k2+1

，OP2=

3(k2+1)

3+k2

，
S=2OS•OP，∴S2=4OS2•OP2=4•

3(k2+1)

3k2+1

•

3(k2+1)

3+k2

，分子分母同时间除以得S2=4•

3(k2+1)

3k2+1

•

3(k2+1)

3+k2

=

36(k+ 1 k )2

3(k2+ 1 k2 )+10

，
记k+

1

k

=t，则t≥2，k2+

1

k2

=t2-2，则S2=

36(k+ 1 k )2

3(k2+ 1 k2 )+10

=

36t2

3t2+4

=

36

3+ 4 t2

，
显然S²在t∈[2，+∞）上是单调递增函数，3+

4

t2

∈(3，4]，S2=

36

3+ 4 t2

∈[9，12)，则S∈[3，2

3

)，
又当SQ的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，S=2ab=2

3

；
所以四边形PQRS面积的取值范围[3，2

3

]．（14分）

点评：本题考查椭圆的方程求法，试探讨四边形PQRS与圆C₁的位置关系，考查四边形PQRS面积的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用，属于难题．