Question

7．已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，M，N分别是BC，AE，D₁C的中点，AD=AA₁，AB=2AD．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （I）建立空间直角坐标系，设AD=1，求出$\overrightarrow{MN}$和平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{AB}$的坐标，直线利用数量积证明AB⊥MN即可；
（II）求出平面DMN的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{DA}$的坐标，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 解：（I）以D为原点，以DA，DC，DD₁为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，
设AD=1，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（$\frac{1}{2}$，2，0），
C（0，2，0），D₁（0，0，1），
∵M，N分别是AE，CD₁的中点，∴M（$\frac{3}{4}$，1，0），N（0，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{3}{4}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0）．
∵AB⊥平面ADD₁A₁，∴$\overrightarrow{AB}$是平面ADD₁A₁的一个法向量，
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AB}$=0，MN?平面ADD₁A₁，
∴MN∥平面ADD₁A₁．
（II）$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{3}{4}$，1，0），$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），设平面DMN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}z=0}\\{\frac{3}{4}x+y=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}$=$\frac{2}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$．
∴sinθ=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．