Question

f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，
（1）若a＞b试比较f（x）与f（b）的大小；
（2）解不等式f(x-

1

2

)＜f(x-

1

4

)；
（3）若-1≤c≤2，证明f（x-c）与f（x-c²）存在公共的定义域．

Answer 1

分析：（1）直接作差根据f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数得到f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=

f(a)+f(-b)

a-b

(a-b)＞0
即可说明结论；
（2）直接根据f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数以及第一问的结论把不等式转化为：

x- 1 2 ＜x- 1 4 -1≤x- 1 2 ≤ 1 -1≤x- 1 4 ≤1

，再解不等式组即可得到结论；
（3）先求出两个函数各自的定义域，再通过作差比较看两个定义域是否有重合部分即可．

解答：解：（1）a＞b则a-b＞0，又f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=

f(a)+f(-b)

a-b

(a-b)＞0
∴f（a）＞f（b）
（2）f（x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）?

x- 1 2 ＜x- 1 4 -1≤x- 1 2 ≤ 1 -1≤x- 1 4 ≤1

?-

1

2

≤x≤

5

4

证明（3）由

-1≤x-c≤1 -1≤x- c2≤1

?

c-1≤x≤c+1 c2-1≤x≤c2+1

此不等式组有解⇒c-1≤c²-1≤c+1≤c²+1 ①
或c²-1≤c-1≤c²+1≤c+1　　　　　　　②
由①得：-1≤c≤0，1≤c≤2，此时有公共定义域[c²-1，c+1]
由②得：0≤c≤1，此时有公共定义域[c-1，c²+1]．

点评：本题主要考察函数奇偶性性质的应用．解决第二问的关键在于根据f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数以及第一问的结论把不等式转化为：

x- 1 2 ＜x- 1 4 -1≤x- 1 2 ≤ 1 -1≤x- 1 4 ≤1

．