Question

设a＞0，函数．
（1）求证：关于x的方程没有实数根；
（2）求函数的单调区间；
（3）设数列{x_n}满足，当a=2且，证明：对任意m∈N^*都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知方程，可得，通分化简得到一元二次方程，用△来进行判断，方程有无解；
（2）已知g（x）的解析式，根据求导法则求出g′（x），令g′（x）=0，先求出其极值点再研究其单调性，含有参量a，需要分类讨论；
（3）已知数列{x_n}满足，将x_m+k-x_k=（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+（x_m+k-2-x_m+k-3）…+（x_k+1-x_k），然后再进行放缩，求证；
解答：解：（1）∵方程，∴，
∴x²-x+a+1=0，∵a＞0，∴△=1-4（a+1）=-4a-3＜0
方程没有实数根；
（2）∵函数，
∴g′（x）=ax²+2x+a，令g′（x）=ax²+2x+a=0，则△=4-4a²，
①当△=4-4a²，＜0，即a＞1，对任意实数g′（x）＞0，
∴g（x）在R上单调递增
②当△=4-4a²，=0，即a=1，g′（1）=0，但g′（x）＞0，（x≠1），
∴g（x）在R上单调递增
③当△=4-4a²，＞0，即0＜a＜1，对任意实数由g′（x）＞0，ax²+2x+a＞0，得x或x＞，
∴g（x）在（）上单调递减，
g（x）在（-∞，），（，+∞）上单调递增
（3）当a=2时，由x₁=0，得  x₂=f（x₁）=f（0）=，|x₁-x₂|=，
|x₁-x₂|=||=×|x₂²-x₁²|＜×|x₂-x₁||x₂+x₁|=××|x₂-x₁|=
当k≥2时，∵0＜x_k≤
∴|x_k+1-x_k|=||=×|x_k²-x_k-1²|×|x_k-x_k-1||x_k+x_k-1|＜×|x_k-x_k-1|
＜×|x_k-1-x_k-2|＜…＜×|x₃-x₂|＜
对任意m∈N₊，
|x_m+k-x_k|=|（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+（x_m+k-2-x_m+k-3）…+（x_k+1-x_k）|≤|（x_m+k-x_m+k-1）|+|（x_m+k-1-x_m+k-2）|+••+|（x_k+1-x_k）|
≤（++…++1）|x_k+1-x_k|=|x_k+1-x_k|=•=，
即证；
点评：此题难度比较大，多次用到放缩，但是一、二问比较简单，利用导数来研究函f（x）的单调性和极值，第三问是数列综合题，关键是拆项找出规律，此题还利用了分类讨论的思想；