Question

△ABC中，AB=6，AC=4，当∠A变化时，求∠A的平分线与BC的垂直平分线的交点P的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：取A为极点，AB所在直线为极轴建立极坐标系，分别在三角形PAC和PAB中，由余弦定理得到PC²，PB²的值，由PB=PC得到P点的极坐标方程，化为直角坐标方程得答案．

解答： 解：取A为极点，AB所在直线为极轴建立极坐标系，

∵AP平分∠BAC，MP为BC的中垂线，
∴PB=PC，设P（ρ，θ）（ρ＞0，-

π

2

＜θ＜

π

2

且θ≠0），
则PC²=AP²+AC²-2AP•AC•cosθ=ρ²+16-8ρcosθ，
PB²=AP²+AB²-2AP•AB•cosθ=ρ²+36-12ρcosθ，
∴ρ²+16-8ρcosθ=ρ²+36-12ρcosθ．
即ρcosθ=5 （ρ＞0，-

π

2

＜θ＜

π

2

且θ≠0），
化为普通方程为x=5（y≠0）．
∴点P的轨迹是与AB垂直，且与A的距离为5的一条直线，除去垂足．

点评：本题考查了轨迹方程，训练了极坐标与直角坐标的互化，考查了余弦定理的应用，是中档题．