Question

13．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD、AE上，且BM=$\frac{1}{3}$BD，AN=$\frac{1}{3}$AE，求证：MN∥平面CDE．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$，能证明MN∥平面CDE．

解答 证明：因为M 在BD 上，且BM=$\frac{1}{3}BD$，
所以$\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，
同理$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$，
所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$）+$\overrightarrow{BA}$+（$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$）=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$，
又$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{DE}$不共线，根据向量共面的充要条件可知$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{DE}$共面，
由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．

点评 本题考查线面平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．