Question

已知不等式e^x-k-lnx-k＜0有解，则实数k的取值范围（　　）

• A、k＞0
• B、0＜k＜1
• C、k＜0或k＞1
• D、k＞1

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据函数y=e^x-k的反函数为y=lnx+k，将不等式转化为lnx+k＞x有解，即可得到结论．

解答： 解：由e^x-k-lnx-k＜0得e^x-k＜lnx+k，
设y=e^x-k，则函数y=e^x-k的反函数为y=lnx+k，
若不等式e^x-k-lnx-k＜0有解，
则等价为y=lnx+k＞x．
即k＞x-lnx，
设f（x）=x-lnx，x＞0，
则函数的导数f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
由f′（x）＞0，解得x＞1，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
即当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=1，
则k＞1，
故选：D

点评：本题主要考查不等式的求解，根据互为反函数之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．